S01 Introducción a los Métodos Numéricos

 

Métodos numéricos se define como un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos como operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc. El procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas conocida como algoritmo, que producen o bien una aproximación de la solución del problema o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo. En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de redondeo.

 

Los métodos numéricos son empleados para la solución de problemas de la vida cotidiana que se han modelado de forma matemática y que requieren una solución de tipo numérico próxima a la realidad.

 

Los métodos numéricos ofrecen soluciones aproximadas muy cercanas a las soluciones exactas; la discrepancia entre una solución verdadera y una aproximada constituye un error, por lo que es importante saber qué se entiende por aproximar y aprender a cuantificar los errores, para minimizarlos.

 

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

El análisis numérico trata de diseñar métodos para “ aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.

 

Pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

•Cálculo de derivadas

•Integrales

•Ecuaciones diferenciales

•Operaciones con matrices

•Interpolaciones

•Ajuste de curvas

•Polinomios

 

En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos siguientes.

 

* Especificación del problema.  Con esto se indica que se debe identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y los resultados deseados.

 

*Análisis. Es la formulación de la solución del problema denominada también algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora.

 

*Programación.  Este paso consiste en traducir el método de análisis o algoritmo de solución expresándole como una serie detallada de operaciones.

 

*Verificación.  Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos.

 

*Documentación.  Consiste en preparar un instructivo del programa de manera que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa.

 

*Producción.  Es la última etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes.

De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el que es precisamente el objeto de los métodos numéricos para computadora. 

 

    

Muchos Problemas de ingeniería se pueden resolver a través de distintas metodologías, siendo que la solución por métodos numéricos proporciona una serie de puntos positivos que colaboran para una mejor comprensión de los fenómenos con un buen balance entre tiempo, costo y calidad.

El análisis numérico idealiza y concibe métodos para «aprobar» de forma eficiente las soluciones de problemas expresados ​​matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones «aproximadas» para problemas complejos.

 

 

 

 El método de los elementos finitos (FEM – Finite Element Method) es un método numérico para solucionar problemas de ingeniería y física matemática. Se aplica a distintas disciplinas de la ingeniería, como estructural, térmica y electromagnética.

La división de la geometría en elementos finitos permite solucionar un problema complejo, subdividiéndolo en problemas más simples, lo que posibilita que la computadora realice con eficiencia estas tareas.

Matemáticamente, con la rigidez de cada elemento y conociéndose los movimientos de cada nudo llamados grados de libertad (GDL) o, en inglés, Degrees of Freedom (DOF), se forma una matriz de rigidez que representa la rigidez de la estructura de geometría compleja.

El método de los elementos discretos está relacionado a la dinámica molecular, pero se diferencia debido a la inclusión de grados de libertad (movimientos) de rotación, contacto entre los elementos discretos y, frecuentemente, geometrías complejas usadas para definirlos.

 

En pocas palabras, una simulación con el DEM empieza con la generación de un modelo donde resultan en orientación espacial y velocidad inicial para todas las partículas. Las fuerzas que actúan en cada partícula se calculan a partir de las condiciones iniciales, y de las leyes de la física relevantes (mecánica Newtoniana) y contacto. El resultado, un nuevo arreglo de las partículas, se puede  visualizar en un software de visualización proyectado para este fin (un post procesador).

Las industrias que típicamente usan el DEM son: agrícola, alimentos, química, minería, farmacéutica, metalurgia del polvo, ingeniería civil, industria de aceite y gas, procesamiento de minerales.

El método de volúmenes finitos (Finite Volume Method – FVM en inglés) se introdujo en la década de 1970 por McDonald, MacCormack y Paullay e, históricamente, ha sido el método preferido por los científicos e ingenieros que trabajan con la mecánica de fluidos, aunque él, el FVM, no se limite apenas a la solución de problemas de mecánica de fluidos.

Considérese que  en el método de volúmenes finitos está la descomposición (discretización) del dominio continuo en pequeños volúmenes, llamados volúmenes de control (VCs), donde las variables se calculan y almacenan en los nudos o en el centro del volumen. Estos   volúmenes de control están conectados por estos nudos y  definen una reja numérica llamada malla.

Los principios de conservación de la masa, momentum (cantidad de movimiento) y energía, son la base de la modelación matemática en el Método de los Volúmenes Finitos para la mecánica del continuo.

Método de los Elementos de Contorno: El método de los elementos de contorno (en inglés: boundary element method (BEM)) es un método computacional para la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales, formuladas en forma integral. Se aplica en diversas áreas de la ingeniería, como, por ejemplo, en mecánica de los fluidos, acústica, electromagnetismo y mecánica de fracturas.

Método de las diferencias finitas: Son métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales, aproximándolos con ecuaciones de diferencia, en las cuales las diferencias finitas se aproximan de las derivadas. Los FDMs son, por lo tanto, métodos de discretización. El método de diferencias finitas depende de la discretización de una función en una reja (“grid”).

Método de Lattice-Boltzmann: Lattice Boltzmann es frecuentemente considerado como un solver numérico de la ecuación de Boltzmann. La ecuación de Boltzmann es el análogo de la ecuación de Navier-Stokes en nivel molecular, donde describe la dinámica espacio-temporal de una cantidad estadística llamada función de distribución de probabilidad, que se define en espacio de fase de 6 dimensiones. El número de fenómenos físicos cubiertos por el modelo en este nivel molecular de descripción es más alto que en el nivel hidrodinámico de la ecuación de Navier-Stokes.